UKURAN
GEJALA PUSAT
Beberapa ukuran
dari gejala pusat adalah : rata – rata atau rata – rata hitung , rata – rata ukur , rata – rata harmonik dan modus .
A. Rata – rata atau rata – rata hitung
1.
Rata – rata hitung data tunggal
Nilai – nilai
data kuantitatif akan dinyatakan dengan 
apabila dalam kumpulan data itu terdapat
n buah nilai . simbol n juga akan dipakai untuk menyatakan ukuran sampel .
yakni banyak data atau obyek yang diteliti dalam sampel. Symbol N dipakai untuk
menyatakan ukuran populasi , yakni banyak anggota terdapat dalam populasi .
jika ada lima nilai ujian dari lima orang mahasiswa untuk mata kuliah
statistika berbentuk : 70 , 69 , 45 , 80 dan 56. maka dalam symbol ditulis : X1
= 70 X2 = 69, X3 = 45 , X4 = 80 , X5
= 56. Dalam hal ini n = 5 maka yang menyatakan sebuah sampel berukuran 5.
apabila dalam kumpulan data itu terdapat
n buah nilai . simbol n juga akan dipakai untuk menyatakan ukuran sampel .
yakni banyak data atau obyek yang diteliti dalam sampel. Symbol N dipakai untuk
menyatakan ukuran populasi , yakni banyak anggota terdapat dalam populasi .
jika ada lima nilai ujian dari lima orang mahasiswa untuk mata kuliah
statistika berbentuk : 70 , 69 , 45 , 80 dan 56. maka dalam symbol ditulis : X1
= 70 X2 = 69, X3 = 45 , X4 = 80 , X5
= 56. Dalam hal ini n = 5 maka yang menyatakan sebuah sampel berukuran 5.
Rata – rata hitung untuk data kuantitatif yang
terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membegi jumlah nilai data
oleh banyak data . symbol rata – rata untuk sampel ialah 
( baca : eks garis/ eks bar ) sedangkan rata –
rata untuk populasi dipakai symbol μ (baca : mu ). Jadi x̅ adalah statistik dan μ adalah parameter untuk
menyatakan rata – rata . rumus untuk x̅ adalah :
( baca : eks garis/ eks bar ) sedangkan rata –
rata untuk populasi dipakai symbol μ (baca : mu ). Jadi x̅ adalah statistik dan μ adalah parameter untuk
menyatakan rata – rata . rumus untuk x̅ adalah :
Untuk kelima nilai ujian diatas , nilai
rata – ratanya adalah :
x̅ = 70 + 69 + 45 + 80 + 56 = 64 .
n
2.
Rata –
rata kelompok
|
Xi
|
fi
|
|
70
|
5
|
|
69
|
6
|
|
45
|
3
|
|
80
|
1
|
|
56
|
1
|
Jika ada
lima mahasiswa mendapat nilai 70 , enam mendapat nilai 69 , tiga
mendapat nilai 45 dan masing – masing seorang mendapat nilai 80 dan 56 , maka
lebih baik data itu ditulis sebagai berikut :
xi : menyatakan nilai ujian dan
fi : menyatakan frekuensi untuk nilai xi yang
bersesuaian .
misal : f1 = 5 untuk x1 = 70 , f2 = 6 , untuk
x2 = 69
dan seterusnya . untuk data berbentuk demikian
, rumus rata – ratanya adalah :
Ialah hasil kali antara frekuensi dan nilai data
dibagi oleh jumlah frekuensi . untuk contoh diatas dianjurkan dibuat tabel
penolong seperti sebagai berikut :
|
Xi
|
fi
|
fi . xi
|
|
70
|
5
|
350
|
|
69
|
6
|
414
|
|
45
|
3
|
135
|
|
80
|
1
|
80
|
|
56
|
1
|
56
|
|
Jumlah
|
16
|
1035
|
Dari
tabel diatas , didapat : 
= 16 dan 
= 1035 .
= 16 dan = 1035 .
Sehingga atau
atau
x̅ = 1035
= 64, 6
6
Nilai
rata – rata ujian statistika untuk ke – 16 mahasiswa itu adalah 64,6 .
3.
Rata – rata gabungan .
Rumus IV ( 2) disebut
pula rumus rata – rata diboboti yang sering dipakai untuk memperbaiki rata –
rata yang dihitung oleh rumus IV ( 1 )
Contoh :
Data berikut merupakan
daftar barang yang disimpan digudang , diantaranya terdapat yang rusak .
|
Barang
|
Disimpan
|
Rusak
|
%
|
|
A
|
100
|
96
|
96
|
|
B
|
200
|
92
|
46
|
|
C
|
160
|
80
|
50
|
|
D
|
80
|
60
|
75
|
|
Jumlah
|
540
|
328
|
267
|
Jika rata – rata mengenai persen barang
yang rusak dihitung dengan rumus IV ( 1 ), maka :
x̅ = 96
+ 46 + 50 + 75 % = 66, 75 %
4
Tetapi barang
yang rusak ada 328 dari 540 . ini berarti 328 x
100 % = 60, 07 %. Hasil ini 540 540
didapat Dengan menggunakan rumus IV ( 2 ) seperti
dalam daftar berikut .
|
Xi ( % )
|
Fi
|
fi. Xi
|
|
96
|
100
|
96
|
|
46
|
200
|
92
|
|
75
|
160
|
80
|
|
75
|
80
|
60
|
|
Jumlah
|
540
|
328
|
Dalam tabel diatas ini , xi = persen yang
rusak , fi = banyak barang . dari tabel dan rumus IV ( 2 ) didapat :
x 100 %
=
328 x 100 %
540
=
60, 07 % .
Jadi , rata – rata terdapat 60 , 07
% barang yang rusak .
Selanjutnya kita
juga dapat menentukan rata – rata gabungan , yaitu rata – rata dari beberapa
sub sampel masing – masing dengan keadaan berikut :
Sub
sampel 1 : berukuran n1 , dengan rata – rata
x̅
Sub sampel 2 : berukuran n2 , dengan rata
– rata x̅
………………………………………………………………………………..
Sub sampel k : berukuran nk dengan rata – rata x̅k
Maka
rata – rata gabungan dari k buah sub sampel itu dihitung dengan :
Contoh :
tiga sub sampel
masing – masing berukuran 10,6 dan 8
sedangkan rata – ratanya masing –
masing 145 , 118 , dan 162 . adalah salah jika rata – rata gabungan dihitung
dengan rumus IV ( 1 ) , ialah :
x̅
= 145 + 118 + 162 = 141 ,
7
3
Yang
benar , harus dihitung dengan rumus IV (
3 ) , ialah :
x̅
= ( 10 ) + ( 145 ) + ( 6 ) + ( 118 )
+ ( 8 ) + ( 162 ) = 143,9 .
10 + 6 +
8
Untuk
data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi , rata – ratanya
dihitung dengan rumus IV ( 2 ) , ialah :
IV ( 4 )
……………………………….
Hanya disini Xi = tanda kelas interval dan fi =
frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas
Xi
Contoh :
marilah kita
hitung rata – rata untuk nilai ujian statistika yang terdapat dalam daftar III ( 1
) halaman 45 . untuk keperluan ini kita buat tabel berikut :
|
Nilai
ujian
|
Frek
.
fi
|
Tanda
kel.
Xi
|
Produk
fixi
|
|
31
– 40
|
1
|
35,5
|
35,5
|
|
41
– 50
|
2
|
45,5
|
91,0
|
|
51
– 60
|
5
|
55,5
|
277,5
|
|
61
– 70
|
15
|
65,5
|
982,5
|
|
71
– 80
|
25
|
75,5
|
1.887,5
|
|
81
– 90
|
20
|
85,5
|
1.710,0
|
|
91
– 100
|
12
|
95,5
|
1.146,0
|
|
Jumlah
|
80
|
458,5
|
6.130,0
|
Catatan : frekuensi berbeda dari
yang terdapat dalam daftar III ( 1 ) .
Dari tabel
diatas didapat : 
= 80 dan
= 6130,0 . Rumus IV ( 4 ) memberikan :
= 80 dan
= 6130,0 . Rumus IV ( 4 ) memberikan :
x̅
= 6130,0 = 76,
62
80
Rata
– rata nilai statistika 76 , 62
Dalam
perhitungan dia atas , diambil tanda kelas yaitu setengah dari jumlah ujung
bawah dan ujung atas , sebagai wakil tiap kelas interval . jadi , telah
dianggap ada mahaiswa yang mendapat nilai 35,5 , ada dua orang yang mendapat
nilai 45,5 dan begitu seterusnya .
Cara
kedua untuk menghitung rata – rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi
ialah dengan cara sandi atau cara singkat . untuk ini ambil salah satu
tanda kelas , namakan x0. Untuk harga x0
ini diberi nilai sandi c = 0 . tanda kelas yang lebih dari x0 berturut – turut
diberi harga sandi c = - 1 , c = - 2 , c = - 3 , dan seterusnya. Tanda kelas
yang lebih besar dari x0 berturut – turut mempunyai harga – harga sandi c = + 1
, c = + 2 , c = + 3 dan seterusnya . dengan ini semua jika p = panjang kelas
interval yang sama besarnya , maka rata – rata dihitung oleh :
IV
( 5 ) …………………………. x̅ = X0 + P (
)
)
Contoh :
untuk data nilai ujian matematika 80
mahasiswa kita perlu menyusun tabel berikut :
|
Nilai
ujian
|
Fi
|
xi
|
ci
|
fi.
ci
|
|
31
– 40
|
1
|
35,5
|
-4
|
-4
|
|
41
– 50
|
2
|
45,5
|
-3
|
-6
|
|
51
– 60
|
5
|
55,5
|
-2
|
-10
|
|
61
– 70
|
15
|
65,5
|
-1
|
-15
|
|
71
– 80
|
25
|
75,5
|
0
|
0
|
|
81
– 90
|
20
|
85,5
|
1
|
20
|
|
91
– 100
|
12
|
95,5
|
2
|
24
|
|
Jumlah
|
80
|
-
|
-
|
9
|
Telah diambil x0 = 75,5 dan nilai sandi c = 0 telah
diberikan untuk ini . harga – harga c
=-1, c
= -2 , c = -3 , c = -4 telah diberikan berturut – turut untuk tanda –
tanda kelas 65,5 ; 55,5 ; 45,5 ; dan 35,5 . tanda kelas yang lebih besar dari
x0 = 75,5 berturut – turut diberi harga c = 1 dan c = 2 . karena p = 10 , maka
dengan rumus IV ( 5 ) , dengan 
=
9 , didapat :
=
9 , didapat :
x̅ = 75 ,5 + ( 10 ) . ( 9 ) = 76 , 62
80
Hasil
yang sama dengan ketika menggunakan rumus IV ( 4 ) . ini memang demikian , dan
sebenarnya rumus IV ( 5 ) didapat dari rumus IV ( 4 ) dengan menggunakan rumus
transformasi ci = xi – x0 berdasarkan sifat :
P
a.
Jika
tiap nilai data xi ditambah / dikurangi dengan sebuah bilangan tetap d , maka
rata – rata x̅ untuk data baru
bertambah / berkurang dengan d dari rata – rata data lama .
b. Jika tiap data xi
dikalikan dengan sebuah bilangan tetap d , maka rata – rata x̅
untuk data baru menjadi d dikali rata – rata data lama .
B.
Rata – rata ukur
Jika
perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap , rata – rata ukur
lebih baik dipakai daripada rata – rata hitung , apabila dikehendaki rata –
ratanya . untuk data bernilai x1 , x2 ………….. xn , maka rata – rata ukur U di
definisi sebagai :
IV
( 6 ) 
Yaitu akar pangkat n dari produk ( x1 .
x2 . x3 ………….. xn )
Contoh : rata – rata ukur untuk data x1 =
2, x2 = 4 dan x3 = 8 adalah
= 4
Untuk bilangan bernilai
besar , lebih baik digunakan logaritma . rumus IV ( 6 ) menjadi :
IV ( 7 ) ………………………………………..
n
yakni logaritma rata – rata ukur U sama
dengan jumlah logaritma tiap data dibagi oleh banyak data . rata – rata ukur
U akan didapat dengan cara mencari
kembali logaritmanya .
contoh : sekedar menunjukkan penggunaan
rumus IV ( 7 ) . kita ambil x1 = 2 , x2 = 4 dan x3 = 8 maka log 2 = 0, 310 ;
log 4 = 0, 6021 dan log 8 = 0, 9031 .
log
U = log2 + log 4 + log 8
3
Atau
log U = 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 0.6021
3
Sehingga setelah dicari kembali akhir
dari logaritma , rata – rata ukur U = 4
Untuk fenomena yang bersifat tumbuh dengan syarat – syarat
tertentu seperti pertumbuhan penduduk , bakteri dan lain – lain , sering
digunakan rumus yang mirip rata – rata ukur ialah :
IV
( 8 ) ………………… pt = pn ( 1 + x̅ ) t
100
Dengan = p0 = keadaan awal atau permulaan
= pt = keadaan akhir
= x̅
= rata – rata pertumbuhan penduduk setiap satuan waktu .
= t = satuan waktu yang digunakan
.
Contoh
:
Penduduk Indonesia pada akhir tahun 1946 ada
60 juta sedangkan akhir tahun 1956 mencapai 78 juta . untuk menentukan laju
pertumbuhan rata – rata penduduk Indonesia tiap tahun maka kita pakai rumus IV
( 8 ) dengan t = 10 , p0 = 60 dan pt = 78 .
Maka
didapat :
78
= 60 ( 1 + x̅ )
10
100
Atau
1, 8921 = 1, 7782 + ( 10 ).log ( 1 + x̅ )
100
Menghasilkan
( 1 + x̅ ) = 1,0267 à x̅
= 2, 67
100
Laju
pertumbuhan = 2 , 67 % tiap tahun .
Untuk
data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi rata – rata ukurnya dihitung dengan rumus :
IV
( 9 ) …………………… 
Dengan xi seperti biasa
menyatakan tanda , fi = frekuensi yang sesuai dengan xi dan harga rata – rata
ukur U dicari kembali dari log U .
Contoh : untuk data dalam daftar III ( 1
) tentang nilai mata ujian 80 mahasiswa kita bentuk dalam tabel berikut :
|
Nilai ujian
|
Fi
|
Xi
|
Log xi
|
fi log xi
|
|
( 1 )
|
( 2 )
|
( 3 )
|
( 4 )
|
( 5 )
|
|
31 – 40
|
1
|
35,5
|
1,5502
|
1,5502
|
|
41 – 50
|
2
|
45,5
|
1,6580
|
3,3160
|
|
51 – 60
|
5
|
55,5
|
1,7443
|
8,7215
|
|
61 – 70
|
15
|
65,5
|
1,8162
|
27,2430
|
|
71 – 80
|
25
|
75,5
|
1,8779
|
46,9475
|
|
81 – 90
|
20
|
85,5
|
1,9320
|
38,6400
|
|
91 – 100
|
12
|
95,5
|
1,9800
|
23,7600
|
|
Jumlah
|
80
|
-
|
-
|
150,1782
|
Kolom 3 adalah tanda
kelas , kolom 4 adalah merupakan logaritma dari kolom 3 dan kolom 5 adalah
menyatakan hasil kali antara kolom 2 dan kolom 4 . didapat 
= 150 ,1782 dan 
=
80
= 150 ,1782 dan =
80
Log
U = 150 ,1782 = 1,8772
80
Yang menghasilkan U = 75 , 37
Nilai ujian itu mempunyai nilai rata –
rata ukur 75 , 37 .
C. Rata – rata harmonik
Rata – rata yang
ketiga adalah rata – rata harmonik . salah satu penerapan rata – rata harmonik
adalah pada analisis variansi dua jalan atau lebih dengan sel tak sama yang
akan dibahas pada bab XIII .
|
IV ( 10 )
……………………………
Contoh
:
|
= 5,87
Untuk
data dalam distribusi frekuensi , maka rata – rata harmonic dihitung dengan
rumus
Dengan xi = tanda kelas interval
dan fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi .
Contoh : jika
untuk nilai ujian dalam daftar III ( 1 ) dihitung rata – rata harmoniknya ,
maka tabel berikut diperlukan .
|
Nilai
ujian
|
fi
|
xi
|
Fi/xi
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
31
– 40
|
1
|
35,5
|
0,0282
|
|
41
– 50
|
2
|
45,5
|
0,0440
|
|
51
– 60
|
5
|
55,5
|
0,0901
|
|
61
– 70
|
15
|
65,5
|
0,2290
|
|
71
– 80
|
25
|
75,5
|
0,3311
|
|
81
– 90
|
20
|
85,5
|
0,2339
|
|
91
– 100
|
12
|
95,5
|
0,1256
|
|
Jumlah
|
80
|
-
|
1,0819
|
Kolom
( 3 ) merupakan tanda kelas dan kolom ( 4 ) adalah hasil bagi kolom ( 2 ) oleh
kolom ( 3 ) dari tabel didapat 
=
1, 0819 = 80 , sehingga dengan rumus IV ( 11 )
diperoleh :
=
1, 0819 = 80 , sehingga dengan rumus IV ( 11 )
diperoleh :
H = 8 0 =
73 , 94
1,0819
Rata – rata harmonic
untuk ujian tersebut adalah = 73 , 94 .
Untuk itu , data dalam daftar III ( 1 )
telah didapat x̅ = 76,62 , U = 75,37 dan H = 73,94 .
ternyata terdapat hubungan H < U < x̅ . secara umum berlaku : H < U <
x̅
D. Modus
Untuk
menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat
digunakan ukuran modus disingkat Mo . ukuran ini juga dalam keadaan tidak
disadari sering dipakai untuk menentukan rata – rata data kuantitatif . jika
kita dengar atau baca : kebanyakan kematian di Indonesia disebabkan oleh
penyakit malaria , pada umumnya kecelakaan lalu lintas karena kecerobohan
pengemudi . maka ini tiada lain masing – masing merupakan modus penyebab
kematian dan kecelakaan lalu lintas .
Modus
dari sekelompok nilai X1 , X2 , X2 , X3 , ……….. Xn adalah nilai ( atau nilai –
nilai yang tertinggi ) . berdasarkan pernyataan tersebut dapat dikatakan bahwa
modus adalah nilai ( nilai – nilai
) yang frekuensi tinggi . dalam hal semua data mempunyai frekuensi kemunculan
yang sama , maka dikatakan bahwa tidak ada data yang mempunyai frekuensi yang
tertinggi . dengan demikian dalam hal semua data mempunyai frekuensi yang sama
, maka tidak ada modus pada kumpulan data tersebut .
Modus
untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menentukn frekuensi terbanyak
diantara data itu .
Contoh : terdapat sampel dengan
nilai – nilai data :
12 , 34 , 14 , 34 , 28 , 34 , 34 ,
28 , 14 . dalam tabel dapat disusun seperti dibawah ini .
Frekuensi terbanyak ialah f = 4 , terjadi untuk data bernilai 34 . maka
modus Mo = 34 .
|
Xi
|
fi
|
|
12
|
1
|
|
14
|
2
|
|
28
|
2
|
|
34
|
4
|
Jika data
kuantitatif telah disusun dalam daftar
distribusi frekuensi , modusnya dapat ditentukan dengan rumus :
IV ( 13 ) ……………… Mo = b + p ( 
)
)
Dengan b = batas kelas modal ,
ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak .
P = panjang kelas modal
b1= frekuensi modal dikurangi frekuensi kelas
interval dengan tanda kelas yang lebih kecil
sebelum tanda kelas normal .
b2=
frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas
yang lebih besar sesudah tanda kelas modal .
jika rumus IV ( 13 ) digunakan untuk mencari modus
Mo dari data dalam daftar III ( 1 ) , maka dari daftar berikut diperoleh :
daftar
IV ( 2 )
|
Nilai
ujian
|
f1
|
|
31
– 40
|
1
|
|
41
– 50
|
2
|
|
51
– 60
|
5
|
|
61
– 70
|
15
|
|
71
– 80
|
25
|
|
81
– 90
|
20
|
|
91
– 100
|
12
|
|
Jumlah
|
80
|
Kelas modal = kelas kelima
b = 70, 5
b1
= 25 – 15 = 10
b2
= 25 – 20 = 5
p
= 10 .
Mo
= 70,5 + (10) ( 
)
)
Mo
= 77,17
Modus , dibandingkan dengan ukuran lainnya , tidak tunggal
adanya . ini berarti sekumpulan data bisa mempunyai lebih dari sebuah modus .
Contoh :
Diberikan data seperti dibawah ini .
|
xi
|
Fi
|
|
75
|
8
|
|
60
|
7
|
|
92
|
8
|
|
64
|
7
|
|
35
|
2
|
Dapat dilihat bahwa ada masing – masing bernilai 75 dan 92 . ini
menyatakan bahwa modusnya ada dua , ialah 75 dan 92 .
E. MEDIAN
Median disebut juga nilai tengah karena letak median ada
ditengah – tengah kumpulan data kalau
data tersebut diurutkan . dengan perkataan lain , median adalah suatu nilai
yang membelah sekelompok data menjadi dua bagian yang cacahnya ( banyaknya )
sama.
Untuk
membicarakan median , diperkenalkan lambing X (i) , yang berarti nilai pada
urutan ke – i setelah datanya diurutkan dari kecil ke yang besar .
Median menentukan letak
data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya . kalau nilai median sama
dengan Me , maka 50% dari data harga – harganya paling tinggi sama dengan Me
sedangkan 50% lagi harga – harganya paling rendah sama dengan Me .
Jika banyak data ganjil , maka median Me
, setelah data disusun menurut nilainya , merupakan data paling tengah .
Contoh
:
Sampel
dengan data = 4 , 12 , 5 ,7 ,8 , 10 , 10 setelah disusun menurut nilainya
menjadi : 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , 10 , 12 . data paling tengah bernilai 8 jadi Me
= 8 .
Untuk
sampel ukuran genap setelah data disusun menurut urutan nilainya , mediannya
sama dengan rata – rata hitung dua data tengah .
Contoh
:
Diberikan
sampel dengan data 4 , 12 , 7 , 8 , 14 , 16 , 19 , 10 , 8 . setelah disusun
menurut nilainya menjadi : 7 , 8 , 8 ,
10 , 12 ,14 , 16 , 19 . maka nilai tengahnya ialah 10 dan 12 ; sehingga median
Me = ½ ( 10 + 12 ) = 11 .
Untuk
data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi , mediannya dihitung
dengan rumus :
Me
= b + p ( 
)
)
Dengan
b = batas bawah nilai median
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel atau banyak data
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih dari tanda kelas
median .
f = frekuensi kelas median .
Daftar pustaka
Sudjana
.1996. metoda statistika . Bandung . Tarsito .
Budiyono
. 2009 .statistika untuk penelitian . Surakarta . UNR press edisi kedua .
Pa.suryadi
. 1980 . pendahuluan teori kemungkinan dan statistika . Bandung
